Марио Драги е роден на 3 септември 1947 година в Рим. След като остава сирак, леля му го дава в Римската школа на йезуитите. По време на обучението си Марио усвоява предпазлив подход към живота, който никога не изоставя. През 1970 година завършва с отличие Университета Ла Сапиенца в Рим. Шест години по-късно заминава за Америка и постъпва в Масачузетския технологичен институт. При следването му негови наставници са били нобеловите лауреати Франко Модилиани и Робърт Солоу.

От 1984 до 1990 година е професор по икономика в Университета във Флоренция и изпълнителен директор в Световната банка, а през 1991-2001 година е генерален директор в италианското Министерство на правосъдието. Взема активно участие в реформите за регулация на финансовите пазари в Италия. През 2002-2005 работи в банката Goldman Sachs International, а от 2006 година е управител на Централната банка на Италия.

Драги членува в бордовете на няколко банки и корпорации, сред които са Ente Nazionale Idrocarburi, Института за реконструкция на промишлеността, Banca Nazionale del Lavoro и Istituto Mobiliare Italiano. През 2011 година той е избран за председател на Европейската централна банка. Наследявайки Жан-Клод Трише, Драги става третият председател на ЕЦБ. На 31 октомври 2011 мястото му в Централната банка на Италия е заето от Игнацио Виско.

Известно е, че Марио е работил с Institute for Advanced Study в Принстън, Ню Джърси, както и с Brookings Institution във Вашингтон, Колумбия и с Правителствената школа Джон Кенеди към Harvard University. От на 16 януари 2006 Марио ръководи дейността на „Banca d’Italia“. Същвременно той участва и в съветите на Европейската централна банка и е бил член на Съвета на директорите на Bank for International Settlements. Драги също представлява Италия в International Bank for Reconstruction and Development и Asian Development Bank. През април 2006 Марио е избран за председател на Форума за финансова стабилност, който през пролетта на 2009 се превръща в Съвета за финансова стабилност.

Въпреки че Марио Драги постига голям успех в банковото дело, той не става публична фигура. Когато по време на двуцифрената инфлация той разработва план за борба с крайната бедност чрез данъчната политика и приватизацията, получава прякора Супер Марио (от името на популярния тогава компютърен герой). Тъмното петно в биографията на Драги е работата му в банката Голдман Сакс (2002-2005). Според слуховете той е участвал в създаването на валутни суапове, скриващи реалната икономическа ситуация на Гърция.

В сравнение с Трише винаги са определяли Драги като по-малко енергичен и не толкова усърден и креативен. За сметка на това обаче той е по-хладнокръвен и дори циничен, отличаващ се с невероятна проницателност.